Задача: По набору наблюдений (цифр) построить полную таблицу распределения частот для случайной величины X, которая принимает значения от 0 до 9. В таблице указываются абсолютные, относительные и накопленные частоты.
Что такое таблица распределения частот?
Таблица распределения частот – это компактный способ представить, как часто каждое возможное значение случайной величины встречается в выборке. В ней обычно фиксируют:
- Значение X (модуль) – конкретный исход (в нашем случае цифра от 0 до 9);
- Абсолютная частота ni – количество наблюдений, равных данному значению;
- Относительная частота wi – доля от общего числа наблюдений (ni/m);
- Накопленная частота Ni – сумма относительных частот всех значений ≤ текущего.
Шаги по построению таблицы
- Соберите данные. Запишите все m наблюдений. Для цифр удобно писать их в одну строку через пробел.
- Подсчитайте абсолютные частоты. Для каждой цифры от 0 до 9 посчитайте, сколько раз она встречается.
- Вычислите относительные частоты. Делим каждую ni на общее число наблюдений m (обычно в процентах).
- Определите накопленные частоты. Составляем их последовательно: Ni = w0 + w1 + … + wi.
- Заполните таблицу. Вставляем полученные значения в соответствующие столбцы.
Пример (упражнение № 1187 из учебника Алимова)
Считаем, что в задаче даны m = 30 цифр, полученных в результате «случайного броска цифры»:
3 7 1 4 2 9 0 5 3 8 1 2 6 4 7 0 5 9 3 1 4 2 8 6 7 5 0 9 2 3
Шаг 2 – подсчёт абсолютных частот
| Значение X | ni |
|---|---|
| 0 | 3 |
| 1 | 3 |
| 2 | 4 |
| 3 | 5 |
| 4 | 3 |
| 5 | 3 |
| 6 | 2 |
| 7 | 4 |
| 8 | 2 |
| 9 | 1 |
Шаг 3 – относительные частоты
Относительная частота = ni / 30 (в процентах умножаем на 100):
| Значение X | ni | wi (в %) |
|---|---|---|
| 0 | 3 | 10 % |
| 1 | 3 | 10 % |
| 2 | 4 | 13,33 % |
| 3 | 5 | 16,67 % |
| 4 | 3 | 10 % |
| 5 | 3 | 10 % |
| 6 | 2 | 6,67 % |
| 7 | 4 | 13,33 % |
| 8 | 2 | 6,67 % |
| 9 | 1 | 3,33 % |
Шаг 4 – накопленные частоты
Накопленные частоты рассчитываются последовательно:
| Значение X | wi (в %) | Ni (в %) |
|---|---|---|
| 0 | 10 % | 10 % |
| 1 | 10 % | 20 % |
| 2 | 13,33 % | 33,33 % |
| 3 | 16,67 % | 50 % |
| 4 | 10 % | 60 % |
| 5 | 10 % | 70 % |
| 6 | 6,67 % | 76,67 % |
| 7 | 13,33 % | 90 % |
| 8 | 6,67 % | 96,67 % |
| 9 | 3,33 % | 100 % |
| Значение X | ni | wi (в %) | Ni (в %) |
|---|---|---|---|
| 0 | 3 | 10 % | 10 % |
| 1 | 3 | 10 % | 20 % |
| 2 | 4 | 13,33 % | 33,33 % |
| 3 | 5 | 16,67 % | 50 % |
| 4 | 3 | 10 % | 60 % |
| 5 | 3 | 10 % | 70 % |
| 6 | 2 | 6,67 % | 76,67 % |
| 7 | 4 | 13,33 % | 90 % |
| 8 | 2 | 6,67 % | 96,67 % |
| 9 | 1 | 3,33 % | 100 % |
Полезные подсказки (магическая помощь)
⚡ Совет от «тайного наставника»: если у вас большой набор данных (сотни‑тысячи цифр), используйте электронные таблицы (Excel/Google Sheets). Формулы, которые ускорят работу:
- Для подсчёта ni:
=СЧЁТЕСЛИ(A:A;0)(замените 0 на нужное значение). - Для относительной частоты:
=B2/$B$11(где $B$11 — общая сумма). - Для накопленной частоты:
=C2+СУММ($C$1:C1).
Запомните: ∑ ni = m и ∑ wi = 100 %. Если суммы не сходятся – проверяйте ввод данных.
Часто задаваемые вопросы
Почему иногда используют «частоту относительную в виде доли», а не в процентах?
Технически wi = ni/m. Проценты просто умножают результат на 100 для удобства восприятия. Оба представления одинаково корректны.
Можно ли объединять несколько соседних значений в один интервал?
Да. При работе с непрерывными величинами часто формируют интервалы (группы). Для дискретных цифр обычно оставляют отдельные столбцы, но если цифр слишком много (например, набор от 0 до 99), объединять их в группы оправдано.
Что делать, если в наборе есть «пропущенные» цифры?
Пропущенные значения (например, не измерено) записывают как NaN и в расчётах их игнорируют – они не входят в m. Если их нужно учитывать, добавьте отдельную строку «пропущено».
Практика
Попробуйте самостоятельно заполнить таблицу для следующего набора из m = 25 цифр:
5 2 8 3 0 7 6 1 9 4 2 2 5 3 7 0 0 1 4 6 8 9 3 5 2
- Определите абсолютные частоты (подсчитайте, сколько раз каждая цифра от 0 до 9 встречаеться).
- Вычислите относительные частоты в процентах.
- Составьте накопленные частоты.
- Заполните итоговую таблицу.
Проверить ответы можно, сравнив их с постановкой задачи 1187 – там показан аналогичный метод.
Таблица распределения частот – основной инструмент статистической обработки дискретных данных. Овладев пошаговым алгоритмом (сбор данных → подсчёт ni → вычисление wi → построение Ni), вы сможете быстро анализировать любые наборы цифр, от простых школьных задач до больших исследовательских выборок.
Удачной работы с данными! Если возникнут вопросы – обращайтесь, и «тайный наставник» всегда подскажет оптимальное решение.