Одно трехзначное число записано разными цифрами в порядке увеличения их значений но в его

В этой статье мы подробно разберём особый класс трёхзначных чисел, у которых:

• цифры разные;
• они расположены по возрастанию (от старшего разряда к младшему).

Такие числа интересны как с точки зрения комбинаторики, так и с точки зрения их арифметических свойств. Мы также предложим задачи, их решения и «магическую помощь», которая поможет быстро находить ответы.

Формальное определение

Обозначим трёхзначное число ABC, где A, B, C – его цифры (от старшего к младшему разряду). Число принадлежит нашему классу, если выполнены условия:

1. A ≠ B ≠ C (все цифры различны);
2. A < B < C (возрастание слева направо);
3. A ≠ 0 (иначе число было бы двухзначным).

Сколько таких чисел существует?

Чтобы посчитать количество, используем простую комбинаторику.

• Выбираем любые три различные цифры из набора {0,1,2,…,9}. Количество способов: C(10,3) = 120.
• Из выбранных трёх цифр единственно один способ разместить их в возрастающем порядке.
• Но если самая маленькая из выбранных цифр – 0, получаем число, начинающееся с нуля, что недопустимо. Сколько наборов содержат 0?

Зафиксируем цифру 0 и выбираем две остальные из оставшихся 9 цифр: C(9,2) = 36. Эти наборы нужно исключить.

120 – 36 = 84 трехзначных чисел, записанных разными цифрами в порядке возрастания.

Перечень всех таких чисел

Ниже приведён полный список (84 числа). Они удобно группируются по первой цифре (A).

123 124 125 126 127 128 129
134 135 136 137 138 139
145 146 147 148 149
156 157 158 159
167 168 169
178 179
189
234 235 236 237 238 239
245 246 247 248 249
256 257 258 259
267 268 269278 279
289
345 346 347 348 349
356 357 358 359
367 368 369
378 379
389
456 457 458 459
467 468 469
478 479
489
567 568 569
578 579
589
678 679
689
789

Особые арифметические свойства

4.1 Делимость на 3

Число делится на 3, если сумма его цифр кратна 3. Для нашего класса:

• Сумма трех отличных возрастающих цифр может принимать любые значения от 0+1+2=3 до 7+8+9=24.
• Из 84 чисел ровно 28 (т.е. одну треть) делятся на 3 – это следствие того, что остатки от деления суммы цифр на 3 распределяются равномерно.

4.2 Делимость на 5

Только те числа, у которых последняя цифра C равна 0 или 5, могут делиться на 5. Поскольку C – самая большая цифра и не может быть 0 (тогда A тоже был бы 0), единственная возможность – C = 5. Однако для C = 5 нужен набор цифр {A,B,5} с A<B<5. Возможные пары (A,B):

• (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)

Отсюда получаем 6 чисел, делящихся на 5: 125, 135, 145, 235, 245, 345.

4.3 Число являеться палиндромом?

Палиндромом может быть только число вида ABA, но у нас A<B<C, поэтому палиндромов в этом классе нет.

Применения в задачах

5.1 Типовая задача

Условие: Найдите наименьшее и наибольшее число из данного класса, у которых сумма цифр кратна 7.

Решение:

1. Перебираем числа с первой цифрой A=1, потом A=2 и т.д.
2. Для каждой комбинации проверяем условие (A+B+C) mod 7 = 0.

5.2 Задача «Счастливый билет»

Определите количество «счастливых» трёхзначных чисел из нашего класса, у которых сумма первых двух цифр равна последней цифре.

Решение. Требуется A + B = C при A<B<C. Перебираем:

• Если A=1, возможные B: 2→C=3 (1,2,3) — подходит;
• 1,3 → C=4 (1,3,4), подходит;
• 1,4 → C=5 (1,4,5) — подходит; …

Пишем таблицу и получаем 12 таких чисел: 123, 134, 145, 156, 167, 178, 189, 235, 246, 357, 468, 579.

Магическая помощь (быстрые приёмы)

Эти приёмы позволят вам без калькулятора или кода получать ответы на типичные вопросы о нашем наборе.

6.1 Счёт количества комбинаций без перебора

• Вычисляйте C(10,3) – общие наборы из 10 цифр;
• Вычитаем наборы с нулём: C(9,2);
• Ответ – 84.

6.2 Как быстро найти числа, делящиеся на 5

• Последняя цифра должна быть 5;
• Выбираем любые две меньшие цифры из {1,2,3,4} – их комбинаций C(4,2)=6;
• Получаем 6 чисел.

6.3 Поиск «палиндромов»

Поскольку цифры строго возрастают, палиндромов нет. Запомните: если условие «возрастание» – палиндром невозможен.

6.4 Быстрая проверка делимости на 3

Сумма цифр трёх возрастающих чисел меняется шагом 3 при переходе к следующей комбинации. Поэтому, если первое число в списке (123) делится на 3, то третье (125) уже нет, а четвёртое (126) снова делится. Это даёт простую схему «каждое третье число делиться».

Трёхзначные числа с разными цифрами, записанными в порядке возрастания, образуют небольшой, но весьма интересный набор из 84 элементов. Их легко перечислить, а свойства (делимость, суммы, отсутствие палиндромов) позволяют быстро решать разнообразные задачи из школьных олимпиад и экзаменов.

Используйте представленные «магические» приёмы, чтобы экономить время и уверенно отвечать на вопросы, требующие анализа этого числа‑класса.